Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

Anterior Siguiente
1. Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
d) 12+16+112+120+130+142+…\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\ldots

Respuesta

De nuevo, para encontrar el término general de la serie, tenemos que tratar de encontrar algún patrón que sigan esos denominadores.
12+16+112+120+130+142+… \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \ldots

Fijate que los denominadores parecen ser productos de dos números consecutivos, mirá: - 2=1⋅22 = 1 \cdot 2
- 6=2⋅36 = 2 \cdot 3
- 12=3⋅412 = 3 \cdot 4
- 20=4⋅520 = 4 \cdot 5
- 30=5⋅630 = 5 \cdot 6
y así... 

Entonces, podríamos escribir nuestra serie de esta manera:

∑n=1∞ 1n(n+1)  \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} 

Y esta serie es una típica serie telescópica: Si la descomponemos en dos fracciones nos queda...

∑n=1∞(1n−1n+1) \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)  

es decir, es de la forma

∑n=1∞an−an+1 \sum_{n=1}^\infty a_n - a_{n+1}

así que si, efectivamente es una serie telescópica :)

En este caso, la suma va a estar dada por:

lim⁡n→∞a1−an+1\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1}

Como en este caso an= 1na_n = \frac{1}{n}, entonces:

a1=1a_1 = 1

an+1= 1n+1a_{n+1} = \frac{1}{n+1}

Volvemos:

 lim⁡n→∞a1−an+1=1− 1n+1=1\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = 1

Por lo tanto, esta suma nos da 11. 
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Anonimus
26 de junio 13:04
Hola profee. Una pregunta, esta serie también podría quedar como 1/[(n+2).(n+1)] ? comenzando la serie desde n=0. Gracias!
0 Responder
Flor
PROFE
26 de junio 16:42
@Anonimus Hola! Exactooooo :) Porque seguimos teniendo en el denominador el producto de dos números consecutivos, en este caso (n+1)(n+1) y (n+2)(n+2). Pero como vos muy bien dijiste, en este caso tenemos que arrancar la sumatoria desde n=0n = 0. Impecableeee, bien razonado :D
0 Responder
Anonimus
28 de junio 11:33
Gracias jaja, pero en ese caso ya no sería una telescópica no? Depende como la escribamos entonces :)
0 Responder
Leon
20 de junio 10:21
hola disculpas, puede ser que no se explicó la serie telescopica en los videos? o yo me lo perdÍ? desde ya gracias
0 Responder
Flor
PROFE
21 de junio 9:13
@Leon Hola León! Nooo, para serie telescópica no armé una clase aparte. Aparece en este ejercicio y después en dos items del ejercicio 2, y si no me equivoco ya no vuelven a aparecer. O sea, una serie telescópica es algo de la forma 

∑n=1∞an−an+1 \sum_{n=1}^\infty a_n - a_{n+1}

que siempre por lo general te la van a dar escrita como algo así:

∑n=1∞ 1n(n+1)  \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} 

y vos tenés que reescribirla para que quede claro quién es ana_n y que efectivamente tenés restando a an+1a_{n+1}

∑n=1∞(1n−1n+1) \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)  

y para calcular la suma hacés:

lim⁡n→∞a1−an+1\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1}

(va a1a_1 porque la suma arranca en n=1n = 1, si arrancara en otro nn, por ejemplo n=3n = 3, ahi iría a3a_3)

Fijate que en el Ejercicio 2 tenés dos ejemplos más y posta que no es más que esto, avisame si se entiende!
0 Responder